谈谈推理证明能力培养的几个阶段

首都师范大学数学系 刘晓玫(100037)

义务教育数学课程标准对推理能力做了明确的阐述，主要含义是能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻找证据、给出证明或举出反例。能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、步步有据．在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论和质疑．推理能力是一个人应具备的重要能力之一，无论是在日常的生活中还是在未来的职业中，每个人都应在思考、交流的过程中做到清晰、有条理、合乎逻辑。数学学科的特点对学生推理能力的培养有着特殊的作用。推理包括逻辑推理和合情推理，在数学的研究发展过程中，既需要通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，也需要通过逻辑推理来验证结论的正确性。数学学习的过程也应与其类似，使学生既学会论证推理，也学会合情推理，从而发展学生的推理能力。

合情推理能力的培养是一个长期的过程。观察、实验、归纳和类比等从小学就已开始,并将一直进行下去。逻辑推理的意识和能力的培养要在学生的认知水平和抽象能力达到一定程度以后才能逐步的开始。学生对证明的意义、证明的方法、证明的基本要求以及严格的证明格式等的掌握都不是一蹴而就的。

新世纪(版)初中数学教材的编写充分考虑了学生对逻辑推理和证明的学习特点，将推理的学习大致分成几个不同的阶段，下面仅以空间与图形的学习为例，介绍推理学习的阶段性。第一阶段主要是让学生经过直观的操作、观察、归纳等方法获得一些结论，这主要以小学阶段以及初中的开始阶段为主。如三角形内角和的结论的获得就是利用撕纸和拼纸片的方法得到的；两点间的直线段最短也是通过观察和测量获得的等等。学生们通过操作和观察得到了一个个新的判断，在这样的推理过程中，是以直观的操作、观察、归纳等方法实现的，是直观的推理过程，也是合情推理的过程。在七年级上册中很多结论的获得都是利用了这种推理形式。

第二阶段则是将直观推理与简单的逻辑推理相结合，并更多地注重学生推理意识和对推理过程的理解，以及有条理的将推理过程进行口头语言的表达。如在七年级下册中的第五章里，三角形的内角和的探索过程，就是将小学时单纯的进行拼角发展为拼角与说理相结合；同一章中，在根据条件（如已知边、角、边）利用尺规作作出一个三角形后，除了让学生利用将三角形重合的方法说明所作的三角形全等外，还提出让学生通过已有的结论进行说明，即思考作图合理性的要求，这就要求学生根据前面已探索过的三角形全等的条件来说明所作的三角形是全等的。与第一阶段相比，学生的推理不仅局限在直观的操作层面上，而且已在逐步地培养学生逻辑推理的意识和能力。学生推理意识的树立，以及推理经验的积累，将为以后的严格推理证明打下基础。值得注意的是，在上述推理过程中，不要求形式化的推理格式，也不过高要求推理难度，主要是使学生逐渐树立推理的意识并培养初步的推理能力。第三阶段是在几个基本事实的基础上进行逻辑论证。依据标准的规定，教材从几个基本事实出发，对前面利用直观推理得到的结论进行证明，同时利用证明的方法得到一些新的结论。这是推理及证明的最高阶段，也是学生体会公理化思想方法的阶段。标准中规定出了六条几何事实作为逻辑论证推理的基础，即公理，这些事实已通过学生的探索获得，在此基础上展开对其他几何事实的论证。在这个阶段要达到这样的目标：体会证明的意义和必要性；学会论证推理的基本方法和形式化的表达方式；能够运用推理证明的方法论证一些几何问题。值得注意的是，在此阶段，合情推理仍然是需要的。有些结论的证明思路与前面的探索过程中想法一致，如，在证明“等腰三角形的两个底角相等”的结论时，辅助线的作出，实际上与此结论在以前探索时的一致，这样的例子非常多。但也有一部分结论的证明思路是运用合情推理来获得的。如，依次连接四边形的中点的四边形的形状如何？其结论需要观察、猜测；证明的思路则在对一些特殊的四边形的情形进行归纳中得到（具体参见九下教材的相关内容）。数学教材的逻辑体系的安排以及学生的抽象思维能力的培养应遵循学生认知水平的发展规律，这样才能使学生的思维能力得到更好地发展。