第一章      集合与函数
一、   导语
尽管集合与函数是传统教材的内容，但张景中院士却以前所未有的全新方式加以处理。因此，在进入一节节具体课时的教学内容以前，有必要思考本章在处理方式上与传统教材的不同之处。

首先是“引入”。 在这方面，本书开头的“给同学们的话”与第一章的章前图别具特色。它在引领学生进入一个新的数学领域时，用最通俗易懂的语言简明扼要地交待了要研究问题的方向，问题的来龙去脉，即明确要学习什么，为什么要学和怎样学，其中又是怎样的数学思想在推动着数学的发展。

 “给同学们的话”中一开始就指出“世界上的一切，都在不停地变化。”本章的章前图下面写道“一切事物都处在相互关联和不断变化的过程之中。函数则是描述变量间依赖关系的重要数学模型。用集合和对应的语言更严谨地表达函数概念，有助于进一步认识函数、理解函数和运用函数。”这就说清楚了为什么要研究函数，为什么要研究集合，而章前图所附的题头诗更以生动的语言交待了本章研究内容的背景和方法，使人耳目一新。在进入具体内容的学习前，引导学生阅读以上的“引入”是有意义的。

二、   几点教学建议。

1、    关注学生从初中到高中的过渡，艺术地处理数学的“形式化”。

   “让数学变得容易一些”是张景中院士多年来对数学课程改革的主张。在这本张院士亲自动手为中学生写的教材中，他力图体现这样的想法。本章是高中数学的起始课，对学生来说有一定的难度。数学的高度抽象与逻辑严谨的特点在本章表现得非常突出，概念多，符号多，数学的形式化与初中相比上了一个很大的台阶。这对数学教学提出了严峻的挑战，张院士采取了深入浅出的方式，成功地把科学形态的数学艺术地加工成教育形态的数学。

  这套教材十分注意概念。在“给同学们的话”中，作者就写道“数学讲究严谨，概念要清楚。”以后又提到“从概念出发解决问题，是数学内功。”“少背公式，多用概念，是增强数学功力的要诀之一。”为突出概念，加深理解，教材充分考虑到学生的认知基础和认识规律，对教学内容进行了巧妙的加工。

  一个办法是巧妙地举例。数学教学中可贵的往往是那些漂亮的例子，抽象的数学通过漂亮的例子一下子拉近了与学生的距离，变得容易理解了。在本教材中，无论正文和旁白中都不乏这样的例子，如17页“电视上常常有这样的知识竞赛题目：在两组事物之间连线来表示一种对应关系。……连线，就是建立对应法则。”又如20页上跳棋的例子，这些例子读来亲切有趣，似乎是信手拈来，是教学中的重要资源，也是这套教材不同于其它教材的又一特色，对我们的教学是一个启发，教学中要重视这些例子。

再一个办法是巧妙地设计螺旋式发展的呈现方式。如研究函数性质，先通过气温与股票指数变化曲线等实例从图象进行研究，再结合正、反比例函数说明函数的有界和无界，函数的最值，函数的奇偶性与函数的单调性，然后又通过巧妙设计的实例指出利用图象研究函数性质的不足，最后引出严谨的高度形式化的函数有关性质的定义。这种从直观到逻辑，从不追求严谨的说明到高度形式化的数学表述，都力图把道理讲得深入人心，揭示出数学概念的本质。

  因此，在本章的教学中不应孤立地设计每节课，而是考虑从总体上把握教材的设计思想，抓住教材的内在联系，循循善诱地引领学生逐步跨进高中数学的门槛。

2、    充分发挥课本的作用。

  在本章的教学中还有一个重要的问题，即关注学生学习方式的转变。从初中到高中，学生的数学学习经历了一个重大的转折，他们需要改进学习方式，学会阅读自学，才能适应高中阶段的学习。当前绝大多数学生学习数学的方式就是解题，从不重视阅读课本，课本对于他们往往只限于起练习册的作用（顶多还是供查阅的数学手册）。因此在本章的教学中要强调学生读书，要求他们养成边阅读边思考的习惯。

  本书的作者以数学家的眼光为中学生编写的教材不可多得，特别适合学生阅读。他给予学生的不仅是知识，更重要的是深刻的思想方法，这往往是我们在课堂讲授时讲不到位的，所以充分发挥课本的作用，引导学生阅读“原著”，可以让学生更直接地和数学家接触，了解数学家的眼光，感悟数学家处理问题的方式。

  值得一提的是在有限的课时内不可能顾及课本的全部内容，同时对许多内容的深刻理解需要学生自己去感悟，这时强调阅读课本就更显得更加必要。

 例如课本第8页和第31页的“多知道一点”，课本第21页的阅读与思考，课本第15页的“上下而求索”不一定都在课堂上处理，但却都是难得的阅读思考材料。

  课本的旁白是对正文的很好的诠释与补充，在教学中应该让学生重视，对于深刻理解正文很有帮助。有些旁白以简洁的文字点到问题的实质，如12页的“必要条件，少了不行，充分条件，有它足够。”我们的教学中正需要这样的语言。有些旁白在研究问题的开始讲请研究该问题的必要性，如24页在1.2.2“表示函数的方法”的标题旁边写道“数学研究的对象是抽象的。抽象的东西看不见摸不着，把它表示出来才好研究。所以数学讲究表示。”这样就把为什么研究表示函数的方法说清楚了。而在介绍解析法时，则用旁白的方式指出这种表示法的重要性：“用解析法表示函数简洁明了，便于计算函数值和推导函数的性质，是最基本最常用的函数表示方法之一。只要可能，人们总是想用解析法表示函数，哪怕是近似地来表示。”有时旁白不失时机地给学生提出问题，以加深数学理解，如39页的“想一想，有界函数的图象有什么特征？”“想一想，最大值是不是上界？上界是不是最大值？”有时作者则结合课文给学生提出学习方法的建议（如35页）。

  对于课本的旁白可以引导学生阅读领会，也可以在课堂教学中适当加以引用。

3、    关于数学实验。

  本章安排了两个数学实验：“用计算机作函数图象和列函数表”与“用计算机研究二次函数的图象”。建议有条件的学校组织学生完成这两个数学实验。

  利用计算机辅助研究函数是本教材的一个特色，学生可以借助于计算机进行的数学实验验证或发现函数的某些性质，它的突出优势是改变学生学习函数的方式，有助于突出学生在学习中的主体地位，由此学生对函数的认识将更加广泛和深刻。

  第一个数学实验“用计算机作函数图象和列函数表”安排在课本1.2.2“表示函数的方法”与1.2.3“从图象看函数的性质”这两节之间，学生作了这个实验不仅能更深刻地体会函数的几种表示方法，更重要的是为给“从图象看函数的性质”的学习打下很好的基础。

  这个实验的基本要求是能根据函数表达式在计算机上绘制出函数的图象，并能在计算机上列出函数表。与传统的列表、描点、画函数图象的最大区别是学生可以自由地输入函数表达式、自由地选取自变量的取值范围、自由地选取参数而快速得到函数的图象，同时还可以获得自变量间隔更“密”的函数表。

  在达到了这个基本要求之后，还可让学生在计算机上研究函数图象的变换。

  第二个数学实验“用计算机研究二次函数的图象”安排在本章的最后，可以作为对全章的复习。教师可根据学生的具体情况提出不同的实验内容和任务，例如讨论二次函数增减性和最值，研究定义在闭区间的二次函数的值域，研究二次函数的对称性，研究两个奇函数的和差积商的函数的奇偶性等等。

  可编制数学实验报告表让学生在实验后填写实验记录、实验的结果以及对实验结果进行说明。数学实验报告应该有明确的实验任务（或目标），实验步骤（或内容），可以每人一机进行实验，也可分组进行实验。

  对于超级画板的操作，我们不久将给教师配备视听光盘。对照视听光盘，教师将会很快掌握函数画图的基本操作，这里不在赘叙。